Ambiguità nell'associazione di tracce

Il problema dell'associazione delle tracce é illustrato in figura (). Sapendo associare correttamente le coordinate $(x_a,y_a)$ , $( x_b , y_b)$ è possibile ottenere la direzione di arrivo del fotone esattamente. I vettori che descrivono le direzioni della coppia $e^+ /e^-$ sono :

$$v_a = ( x_a , y_a , -D) \;\;\;\;\;\;\;\; v_b = ( x_b , y_b , -D)$$ (70)

dove D é la distanza tra i piani.

Figure: Se le coordinate X e Y sono associate in modo sbagliato si ottiene la direzione h invece della vera bisettrice g.

Si puó ricavare la bisettrice dei vettori $v_a , v_b$ normalizzandoli e poi sommandoli. La direzione di arrivo del fotone che ha generato la coppia e' data dal vettore con verso opposto alla bisettrice:

$${\bf g} = - \left[ \frac{1}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+D^2}} \left( ... ...c} x_b \\ y_b \\ D \\ \end{array}\right) \right]$$ (71)

Invece associando le coordinate in modo sbagliato, cioè $(x_a,y_b)$ , $( x_b , y_a)$, si otterrebbe :

$${\bf h} = - \left[ \frac{1}{\sqrt{x_a^2+y_b^2+D^2}} \left(\... ...c} x_b \\ y_a \\ D \\ \end{array}\right) \right]$$ (72)

Si può valutare l'errore che si commette scegliendo la coppia sbagliata di coordinate calcolando la separazione tra la direzione giusta g e quella sbagliata h analogamente a quanto fatto nel paragrafo precedente:

$$\epsilon = arccos \left( \frac{{\bf h \cdot g}}{{\bf \vert ... ...t{g_x^2 + g_y^2 + g_z^2}\sqrt{h_x^2 + h_y^2 + h_z^2}} \right)$$ (73)

Si può così ottenere ancora la dipendenza di $\epsilon$ da $\psi$ e da $\theta$.

Figure: Errore angolare causato da una sbagliata associazione tra le coordinate, in funzione dell'angolo di orientazione della coppia $\psi$ e per un'apertura della coppia di 12 gradi. Le curve si riferiscono a diverse direzioni d'incidenza con $\phi = 0$ gradi.

Figure: Come per la figura precedente ma per $\phi = 45$ gradi.

Figure: Errore medio causato da una sbagliata associazione tre le coordinate, in funzione dell'angolo $\theta$ e per tra valori della semiapertura $\alpha$. Le curve continue sono per $\phi = 0$ gradi e quella tratteggiate per $\phi = 45$ gradi. Per differenti valori di $\phi$ le curve sarebbero contenute tra questi due casi.