Metodo delle proiezioni

In questo metodo le proiezioni delle tracce nelle due viste sono trattate indipendentemente. Si assume cioè che le proiezioni della bisettrice tridimensionale delle tracce coincidano con le bisettrici delle proiezioni delle tracce. Questo vale solo in modo approssimato, l'errore commeso cresce all'aumentare dell'angolo $\theta$ e all'aumentare dell'apertura della coppia. Il metodo delle proiezioni è illustrato in figura .

Figure: Componendo le bisettrici delle proiezione nelle due viste si ottiene una direzione tridimensionale (tratteggiata) diversa dalla vera bisettrice (solida).

Le due bisettrici delle proiezioni delle tracce si trovano facilmente ponendo:

$$\theta_x = \frac{\theta_{x1}+ \theta_{x2}}{2} =\frac{arct... ...ft(\frac{x_A}{D}\right)+arctan \left(\frac{x_B}{D}\right)}{2}$$ (64)

$$\theta_y = \frac{\theta_{y1}+ \theta_{y2}}{2}=\frac{arcta... ...eft(\frac{y_A}{D}\right)+arctan \left(\frac{y_B}{D}\right)}{2}$$ (65)

Dove $\theta_{x1}$ e $\theta_{x2}$ sono le inclinazioni rispetto alla verticale delle due tracce nella vista X e $\theta_{y1}$ e $\theta_{y2}$ le inclinazioni nella vista Y.

Figure: Angoli definiti per le proiezioni delle tracce. Per il piano YZ si avrebbe una figura analoga.

Combinando $\theta_{x}$ e $\theta_{y}$ si ottiene una direzione (h) nello spazio tridimensionale, é conveniente scrivere questa direzione come un vettore:

$${\bf h} = - ( D \,tan(\theta_{x}),D \,tan(\theta_{y}),D ) = (- tan(\theta_{x}),- tan(\theta_{y}),1)$$ (66)

Calcolando la separazione tra la direzione di arrivo vera g e quella sbagliata h, si ottiene l'errore che si commette usando questo metodo:

$${\bf h \cdot g} = {\bf \vert h\vert \vert g\vert} \cos\; \epsilon$$ (67)

Quindi:

$$\epsilon = arccos \left( \frac{{\bf h \cdot g}}{{\bf \vert ... ...t{g_x^2 + g_y^2 + g_z^2}\sqrt{h_x^2 + h_y^2 + h_z^2}} \right)$$ (68)

L'ampiezza del errore commesso dipende, oltre che dalla direzione di arrivo, dall'apertura della coppia e dalla sua orientazione nello spazio. La formula precedente scritta in termini dei $\theta_x$ e $\theta_y$ misurati e della direzione di arrivo del fotone ($\theta,\phi$) diventa:

$$\epsilon = arccos \left( - \frac{tan\theta_x \, sin\theta ... ... cos\theta}{\sqrt{tan^2\theta_x+ tan^2\theta_y+ 1}} \right)$$ (69)

Attraverso le equazioni () e () e le relazioni () e () si può ricavare l'errore $\epsilon$ in funzione di $\theta$, $\phi$, $\alpha$ e $\psi$.
Nelle figure che seguono sono mostrati alcuni esempi della dipendenza di $\epsilon$ da $\psi$ e da $\theta$.

Figure: Errore angolare nel metodo delle proiezioni in funzione dell'angolo di orientazione della coppia $\psi$ e per un'apertura della coppia di 12 gradi. Le curve si riferiscono a diverse direzioni d'incidenza con $\phi = 0$ gradi.

Figure: Come per la figura precedente ma per $\phi = 45$ gradi.

Figure: Errore medio nel metodo delle proiezioni in funzione dell'angolo $\theta$ e per tre valori della semiapertura $\alpha$. Le curve continue sono per $\phi = 0$ gradi e quella tratteggiate per $\phi = 45$ gradi. Per differenti valori di $\phi$ le curve sarebbero contenute tra questi due casi.