Metodo di analisi

Si prenda un sistema di riferimento solidale con il tracciatore, con origine coincidente con il vertice della coppia $e^+e^-$, con asse Z parallelo all'asse di Z AGILE e con gli assi X e Y orientati parallelamente ai rispettivi piani X e Y del tracciatore stesso (vedi figura ).

Figure: Rappresentazione dei vettori che definiscono le direzioni della coppia di elettroni per un fotone in asse.

Se la direzione di arrivo g del fotone coincide con l'asse Z è possibile descrivere le possibili orientazioni della coppia di particelle con una coppia di vettori ${\bf V_1 ,\; V_2}$ dati da :

$${\bf V_1} = \left( \begin{array}{c} sin{\alpha} \; cos{... ... \; sin(\psi+\pi) \\ -cos{\alpha} \\ \end{array}\right)$$ (58)

Con $\alpha$ semiapertura della coppia. Variando $\psi$ tra 0 e $\pi$ si ottengono tutte le possibili orientazioni della coppia per un fissato $\alpha$.

Figure: Definizione degli angoli $\theta$ e $\phi$ usati nella trattazione.

Se la direzione di arrivo del fotone é una generica direzione g' definita dagli angoli $\theta$ e $\phi$ vale :

$${\bf g'} = {\bf M_z M_y \; g}$$ (59)

dove ${\bf M_z}$ e ${\bf M_y}$ sono le matrici di rotazione intorno agli assi Z e Y :

$${\bf M_y} = \left( \begin{array}{ccc} cos\theta & 0 & sin... ...n\phi & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$$ (60)

Quindi la stessa trasformazione applicata ai vettori () da ancora una coppia con apertura $\alpha$, la bisettrice delle quali é ora g'.

$${\bf V_1} = \left( \begin{array}{ccc} cos\phi & -sin\phi & 0 \\ ... ... cos{\psi} \\ sin{\alpha} \; sin{\psi} \\ -cos{\alpha} \\ \end{array}\right)$$

$$= \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ \end{array}\right)$$ (61)

$${\bf V_2} = \left( \begin{array}{ccc} cos\phi & -sin\phi & 0 \\ ... ...i+\pi) \\ sin{\alpha} \; sin(\psi+\pi) \\ -cos{\alpha} \\ \end{array}\right)$$

$$= \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ \end{array}\right)$$ (62)

I punti di intersezione delle traiettorie della coppia di elettroni con il secondo piano del tracciatore si possono trovare facilmente prolungando i vettori ${\bf V_1}$ e ${\bf V_2}$ su un piano a distanza D dal origine, assumendo quindi D la distanza tra due piani successivi. Le coordinate x e y di tali punti valgono:

$$(x_A,y_A)=\left( -\frac{x_1 D}{z_1} , -\frac{y_1 D}{z_1} \r... ...,y_B)=\left( -\frac{x_2 D}{z_2} , -\frac{y_2 D}{z_2} \right)$$ (63)

Poiché nel tracciatore le informazioni X saranno date indipendentemente dalle informazioni Y, dopo la rivelazione di un evento si disporrà delle coordinate $(x_A,x_B)$ e delle coordinate $(y_A,y_B)$ senza alcuna correlazione tra loro. Questo vale indipendentemente dalla tecnica di fit usata per le tracce, l'unica differenza sta nel fatto che un metodo "a due piani" userà come coordinate i centroidi delle misure prese sul secondo piano, mentre un metodo a più piani, come il Kalman filter, correggerà la misura in base alle informazioni sui piani successivi. Nei due paragrafi successivi si assumerà di disporre esattamente di $(x_A,x_B)$ e $(y_A,y_B)$, ignorando gli errori di misura. Nel paragrafo saranno invece presentati gli effetti causati dalla risoluzione spaziale finita in relazione alla misura della bisettrice delle tracce.