Un esempio

Ecco un esempio per chiarire i concetti esposti (vedi anche [Maybeck, 1979]). Si supponga di conoscere esattamente la posizione dell'elettrone al piano k-1, e che invece la stima dell'inclinazione del suo moto ( ) sia affetta da errore. Se questo errore è descrivibile in termini di una distribuzione normale con varianza , è possibile stabilire la posizione dell'elettrone sul piano successivo in termini di probabilità di presenza. Questa sarà approssimativamente una gaussiana centrata nella posizione e con varianza .

Figure 2.4: Probabilità di presenza dell'elettrone.

A sua volta, una misura sul piano k può essere descritta da una distribuzione gaussiana con picco in e varianza .
È noto che due gaussiane (con medie in e varianze ) derivate da stime indipendenti possono essere combinate in una distribuzione con varianza :

$$v = \frac{v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$$

e media :

$$z = \frac{v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}} ( \frac{z_{1}}{v_{1}} ... ...2}}{v_{2}} ) = v ( \frac{z_{1}}{v_{1}} + \frac{z_{2}}{v_{2}} )$$

Si può quindi descrivere complessivamente l'informazione sul piano k con una distribuzione di probabilità con varianza :

$$\frac{d^{2}\Delta^{2}\sigma^{2}}{d^{2}\Delta^{2}+\sigma^{2}}$$ (47)

e picco in :

$$\frac{d^{2}\Delta^{2}\sigma^{2}}{d^{2}\Delta^{2}+\sigma^{2}}... ...\tan\theta_{k-1}}{d^{2}\Delta^{2}} + \frac{m_{k}}{\sigma^{2}})$$ (48)

Il calcolo del Kalman filter sfrutta gli stessi principi estendendoli però a variabili con più dimensioni. Nel formalismo matriciale lo stato del sistema sul piano k vale:

$$p_{k-1} = \left( \begin{array}{c} x_{k-1} \\ \tan \theta_{k-1} \\ \end{array} \right)$$

A questa è associata una matrice di covarianza :

$$C_{k-1} = \left( \begin{array}{cc} \epsilon & 0 \\ 0 & \Delta^{2} \\ \end{array} \right)$$

dove è stato inserito solo per rendere la matrice invertibile, ma può essere pensato piccolo a piacere. Partendo da queste informazioni è possibile fare una previsione sullo stato al piano k :

$$p_{k}^{proj} = F p_{k-1} = \left( \begin{array}{c} x_{k-1}... ...n \theta_{k-1}\\ \tan \theta_{k-1} \\ \end{array} \right)$$

la matrice di covarianza proiettata sul piano k diventa :

$$C_{k}^{proj} = F C_{k-1} F^{T} = \left( \begin{array}{cc} d... ...ta^{2} \\ d \Delta^{2} & \Delta^{2} \\ \end{array} \right)$$

dove, per semplicità , si è posto Q =0. In questa matrice gli elementi sulla diagonale esprimono (in termini di varianza) l'incertezza rispettivamente sulla posizione e sulla direzione.
Se sul piano k viene presa una misura , si ottiene :

$$p_{k} = C_{k} [ (C_{k}^{proj})^{-1} p_{k}^{proj} + H^{T} V^{... ...frac{(m_{k} - x_{k-1})}{\sigma^{2}d} \\ \end{array} \right)$$

Il primo elemento di è uguale alla (2.16), mentre il secondo esprime l'analogo risultato per . L'incertezza legata a queste stime è contenuta in :

$$C_{k} = [ (C_{k}^{proj})^{-1} + H^{T} V^{-1} H ]^{-1} = \fr... ...ay}{cc} \par d^{2} & d \\ \par d & 1 \par\end{array} \right)$$

nella quale il primo elemento della diagonale principale è uguale a (2.15).