Il calcolo

Nel procedimento di calcolo si distinguono tre momenti, chiamati Prediction, Filtering e Smoothing.
Il primo di questi consiste in una previsione dello stato sul piano k in base allo conoscenza del sitema sul piano k-1

$$p_{k}^{proj} = F p_{k-1}$$ (40)

l'incertezza associata a questa stima è data dall'incertezza con cui si conosce (anch'essa proiettata sul piano k) sommata alla deviazione dovuta allo scattering multiplo

$$C_{k}^{proj} = F C_{k-1} F^{T} + Q$$ (41)

Il vettore contiene l'informazione sullo stato al piano k proveniente dalle misure prese ai piani superiori. Se viene presa una misura al piano k si hanno due stime (o misure) del sistema relative allo stesso piano e indipendenti tra loro. Queste possono essere combinate tra loro pesandole in modo inversamente proporzionale all'incertezza con le quali si conoscono.

$$p_{k} = \frac{(C_{k}^{proj})^{-1} p_{k}^{proj} + H^{T} V^{-1... ..._{k} [ (C_{k}^{proj})^{-1} p_{k}^{proj} + H^{T} V^{-1} m_{k} ]$$ (42)

avendo definito:

$$C_{k} = [ (C_{k}^{proj})^{-1} + H^{T} V^{-1} H ]^{-1}$$ (43)

Queste operazioni costituiscono la fase di filtering. Cosi' facendo si può partire dal primo piano colpito e inserire le misure sui piani sottostanti attarverso un'alternanza di prediction e filtering.
In questo modo però, sarà il vettore relativo all'ultimo piano a contenere tutte le informazioni raccolte. Il successivo processo di smoothing serve proprio a trasportare a ritroso l'informazione. Questo procedimento, del tutto analogo al prediction e filtering, viene attuato definendo prima una matrice di guadagno sul piano k:

$$A_{k} = C_{k} F^{T} (C_{k+1}^{proj})^{-1}$$ (44)

Il vettore-stato sarà :

$$p_{k}^{smooth} = p_{k} + A_{k} (p_{k+1}^{smooth} - p_{k+1}^{proj} )$$ (45)

al quale è associata un'incertezza :

$$C_{k}^{smooth} = C_{k} + A_{k} (C_{k+1}^{smooth} - C_{k+1}^{proj} )A_{k}^{T}$$ (46)

Anche queste operazioni devono essere effettuate in modo iterativo, procedendo dall'ultimo piano verso il primo. Sul generico piano k il vettore conterrà così le informazioni provenienti da tutte le misure a disposizione. Nella ricostruzione delle tracce di $e^+e^-$ generati da un fotone gamma, l'inclinazione iniziale del moto riveste un particolare interesse. Il processo di smoothing dovrà quindi essere continuato fino all'inizio della traccia.