Perdita di energia degli elettroni

Una particella carica che si muove all'interno di un materiale diminuisce la sua energia cinetica a causa delle interazioni con gli elettroni orbitali degli atomi che formano il materiale stesso. Queste possono essere viste come collisioni anelastiche tra la particella e la nuvola elettronica degli atomi, con trasferimento di energia dalla particella agli elettroni. La perdita media di energia é descritta dalla formula di Bethe e Bloch, che specializzata per elettroni e positroni diventa [Grupen, 1996]:

$\begin{displaymath} -\frac{dE}{dx} = k \frac{Z}{A} \frac{1}{\beta^2} \left[ \... ... c^2 \beta \sqrt{\gamma -1}}{\sqrt{2}I}} + F(\beta) \right] \end{displaymath}$

(24)

dove $k = 4 \pi N_A r_e^2 m_e c^2 = 0.3071 \frac{MeV}{g/cm^2}$ , I é la costante di ionizzazione caratteristica del materiale che puó essere approssimata da $I = 16 Z^{0.9} eV$ e

$\begin{displaymath} F(\beta) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}(1-\beta^... ...{(\gamma+1)^3} \right) & per \: e^+ \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

La funzione (

) ha l'andamento mostrato in figura

, per elettroni relativistici il suo valore non si discosta mai di molto dal valore assunto al minimo, che per il tungsteno e il silicio vale rispettivamente 1.16 e 1.66 $MeV cm^2 / g$ . Gli elettroni con energia corrispondente a questo minimo vengono chiamati 'minimum-ionizing particles'.
L'energia perduta dall'elettrone incidente viene acquistata dall'atomo che puó risultare eccitato o ionizzato. Le ionizzazioni prodotte in questo modo all'interno degli strati di Silicio del tracciatore di AGILE producono una serie di cariche sotto forma di coppie elettrone-buca che vengono raccolte e misurate tramite le micro-strips presenti in questi strati.
Oltre alla perdita di energia per collisioni inelastiche gli elettroni possono perdere energia anche per interazione con il campo Coulombiano dei nuclei atomici. Infatti se a causa del campo elettrico dei nuclei un elettrone viene decellerato parte della sua energia cinetica viene persa sotto forma di un fotone, questo processo é chiamato bremsstrahlung. Da un punto di vista teorico la bremsstrahlung é legata al processo di produzione di coppie da una semplice regola di sostituzione, la (

) da quindi anche la sezione d'urto della bremsstrahlung se si interpreta $E_+$ come l'energia dell'elettrone prima dell'interazione e $E_{\gamma}$ l'energia del fotone emesso.
La perdita di energia causata da questo processo vale:

$\begin{displaymath} -\frac{dE}{dx} = 4 \alpha N_A r_e^2 \frac{Z^2}{A} E \ln{\frac{183}{Z^{1/3}}} \end{displaymath}$

(25)

per E (energia dell'elettrone o del positrone) $\gg m_e c^2 / \alpha Z^{1/3}$ .
Definendo una lunghezza di radiazione:

$\begin{displaymath} X_0 = \frac{A}{ 4 \alpha N_A Z^2 r_e^2 \ln{\frac{183}{Z^{1/3}}}} \end{displaymath}$

(26)

$\begin{displaymath} -\frac{dE}{dx} = \frac{E}{X_0} \end{displaymath}$

(27)

**Figure:** Perdita di energia per ionizzazione (linea punteggiata), per bremsstrahlung (linea tratteggiata) e totale (linea continua) nel tungsteno.
$\begin{figure} \epsfysize =8cm \epsfxsize =9cm {\centerline{\epsfbox{fig-fisica/w_nrg_loss.eps}}} \end{figure}$

Come si puó vedere dalla figura

la perdita di energia per bremsstrahlung domina al di sopra di un'energia critica, che vale 8 MeV per il tungsteno e 39 MeV per il silicio. É necessario tenere conto di questi effetti di perdita di energia per evitare di sottostimare le energie della coppia di elettroni e quindi anche quella del fotone primario.

**Figure:** Variazione dell'energia di un elettrone inizialmente di 1 GeV attraverso i piani del tracciatore, con inclinazione di 0 gradi (quadrati), 45 gradi (triangoli) e 60 gradi (rombi).
$\begin{figure} \epsfysize =8cm \epsfxsize =9cm {\centerline{\epsfbox{fig-fisica/es_nrg_loss.eps}}} \end{figure}$