La sezione d'urto

Questo processo dipende dall'intensitá del campo elettrico nel punto in cui avviene. Per questo la sezione d'urto dipende, oltre che dall'energia del fotone primario, dal numero atomico Z del materiale e dalla distanza dal nucleo. Infatti maggiore é questa distanza e maggiore sará lo screening degli elettroni orbitali. L'influenza dello screening é determinata dalla quantitá :

$\begin{displaymath} \xi = 100 \frac{m_e c^2}{E_{\gamma}}\frac{1}{v(1-v)}Z^{-1/3} \end{displaymath}$

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$\begin{displaymath} v=\frac{E_+ + m_e c^2}{E_{\gamma}} \end{displaymath}$

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é la frazione di energia presa dal positrone. L'effetto di screening é maggiore per uno $\xi$ minore. Se $\xi \ll 1$ lo screeening é trascurabile, mentre $\xi \sim 0$ indica un completo screening. Per un dato valore di v, $\xi$ diminuisce all'aumentare di $E_{\gamma}$ . Lo screening puó quindi essere considerato completo per ogni processo di produzione di coppie quando l'energia dell'fotone incidente é grande ( $E_{\gamma} > 1 GeV$ ).
Si può definire una probabilitá differenziale di produzione di coppia $\Phi_{pair}(E_{\gamma},E_+)$ tale per cui $\Phi_{pair} dE_+ dx$ rappresenta la probabilitá per un fotone di energia $E_{\gamma}$ che attraversa uno spessore dx $(g cm^{-2}$ ) di produrre una coppia in cui l'elettrone ha un energia cinetica compresa tra $E_+$ e $E_+ + dE_+$ . Assumendo che $E_{\gamma} \gg m_e c^2$ l'espressione teorica per $\Phi_{pair}$ é :

$\begin{displaymath} \Phi_{pair}(E_{\gamma},E_+)dE_+ = 4 \alpha N \frac{Z^2}{A}r_e^2\frac{dE_+}{E_{\gamma}} G(E_{\gamma},v) \end{displaymath}$

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in cui $G(E_{\gamma},v)$ varia lentamente con $E_{\gamma}$ e v. Nei casi limite di screening completo o di assenza di screening $G(E_{\gamma},v)$ vale [Rossi, 1952]:

$\begin{displaymath} G(E_{\gamma},v) = \left\{ \begin{array}{ll} \left[v^2 + (1-... ...e c^2}-\frac{1}{2}\right] & \xi \gg 1 \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

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Essendo G simmetrica tra v e 1-v, $\Phi_{pair}$ è complessivamente simmetrica per l'elettrone e il positrone. Integrando $\Phi_{pair}$ in $dE_+$ si ottiene la sezione d'urto totale, questo può essere fatto analiticamente solo per i due casi limite:

$\begin{displaymath} \tau_{pair} = \left\{ \begin{array}{ll} 4 \alpha N \frac{Z^... ...}-\frac{109}{54}})\right] & \xi \gg 1 \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

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per valori intermedi di $\xi$ bisogna valutare l'integrale numericamente. Per $\xi \sim 0$ e quindi per $E_{\gamma}$ elevate $\tau_{pair}$ é circa costante.
La produzione di coppie puó avvenire anche nel campo di un elettrone nucleare. L'analoga sezione d'urto che si ottiene da questa reazione é piú piccola di un fattore Z. Per tenere conto di questa interazione si puo' quindi sostituire nella formula precedente $Z^2$ con Z(Z+1).
In figura

é mostrata la sezione d'urto totale relativa al Tungsteno per la produzione di coppie in funzione di $E_{\gamma}$ e in relazione agli altri principali processi di assorbimento, lo scattering Compton e fotoelettrico. Al di sopra dell'energia di soglia la probabilitá di assorbimento di un fotone per produzione di coppie aumenta molto velocemente, fino a diventare il processo dominante per energie maggiori di circa 10 MeV.

**Figure:** Sezione d'urto del Tungsteno relativa ai principali processi di perdita di energia per fotoni gamma. Per alte energie la produzione di coppie domina sulgi altri processi.
$\begin{figure}\epsfysize =12cm \epsfxsize =12cm {\centerline{\epsfbox{fig-fisica/cross2.ps}}} \end{figure}$

E' interessante studiare come l'energia del fotone si divida tra i due elettroni prodotti, questa informazione é contenuta in $\Phi_{pair}$ . In figura

é graficata $\Phi_{pair}$ in funzione di v per diverse $E_{\gamma}$ . Va notato che il valore di v più probabile varia al variare dell'energia del fotone incidente, in particolare per alte energie é favorita una distribuzione assimmetrica dell'energia.

**Figure:** Probabilitá di reazione in funzione della distribuzione di energia tra gli elettroni secondari.
$\begin{figure} \epsfysize =10cm \epsfxsize =10cm {\centerline{\epsfbox{fig-fisica/nrgsplit.eps}}} \end{figure}$