Lo scattering degli elettroni

Il passaggio tra i piani del tracciatore altera, oltre che l'energia, anche la direzione iniziale degli elettroni. Il moto di particelle cariche nella materia é infatti influenzato anche da ripetute interazioni elastiche con i nuclei atomici. In prima approssimazione queste collisioni sono descritte dalla formula di Rutherford:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = Z^2 r_e^2 \frac{mc/\beta c}{4 sin^4(\theta /2)}$$ (28)

dove indica la sezione d'urto per unitá di angolo solido, e la deviazione dalla direzione originaria. A causa della dipendenza da nel denominatore sono molto favorite le collisioni con piccoli angoli di deviazione. Tuttavia l'effetto complessivo dovuto al passaggio attraverso un certo spessore di materia é dato dall'accumulo di queste piccole deviazioni e puó quindi essere sensibile.
A seconda dello spessore di materia attraversato si puó dividere il processo in tre classi [Leo, 1987], single scattering per materiali molto sottili tali per cui la probabilitá di piú di uno scattering Coulombiano é piccola, plural scattering quando il numero medio di collisioni é minore di 20 e multiple scattering quando il numero di collisioni é maggiore di 20 e la perdita di energia é piccola. In quest'ultimo caso si puó trattare statisticamente il problema ottenendo una distribuzione di probabilitá per l'angolo di deviazione dipendente dallo spessore di materiale attraversato.
Un calcolo rigoroso di tale effetto é stato sviluppato da Moliere (ref..) valido per angoli fino a 30 gradi con l'eccezione di elettroni lenti () in elementi con alto Z.
Il calcolo di Moliere da la distribuzione dell'angolo polare sotto forma di una serie:

$$P(\theta)d\Omega = \eta \left( 2 e^{-\eta^2} + \frac{F_1(\eta)}{B} + \frac{F_2(\eta)}{B^2} + ... \right) d\eta$$ (29)

in cui ,

$$\theta_1 = 0.3965 \frac{\sqrt{Z(Z+1) \rho x / A}}{ p\beta}$$

mentre B é definito dall'equazione con

$$\gamma=8.831 10^3 \frac{(Z+1)Z^{1/3}\rho x}{\beta^2 A \Delta}$$

Le funzioni sono definite dall'integrale:

$$F_k(\eta) = \frac{1}{k!} \int J_0 (\eta y) e^{\frac{-y^2}{4}} \left[ \frac{-y^2}{4} ln \frac{-y^2}{4} \right] ^k y dy$$

Questa distribuzione per piccoli angoli é approssimativamente una gaussiana, ma ha significative code non gaussiane. Queste code sono dovute a singole collissioni con parametri d'urto molto piccoli, e non ad una somma di piccole deviazioni; perció non possono essere trattate in semplici termini statistici. Se si escudono questi urti "frontali" tra elettroni e nuclei, che comunque sono poco probabili, la distribuzione di probabilitá puó essere messa nella forma

$$P(\theta)d\Omega = \frac{2\theta}{<\theta^2>} e^{\frac{-\theta^2}{<\theta^2>}} d\theta$$ (30)

Dove é il secondo momento della deistribuzione. Paragonando la al primo termine della si puó porre :

$$\sqrt{<\theta^2>} \simeq \theta_1 \sqrt{B} = \frac{13.6... ...z}{X_{0}}}\left(1+0.038 \ln {\frac{z}{X_{0}}}\right) \; rad$$ (31)

dove é la lunghezza di radiazione del materiale e z lo spessore.
Spesso peró é piú utile usare la proiezione su di un piano della deviazione angolare di scattering. Questa quantitá é distribuita ancora in modo gaussiano ma vale
É interessante notare che anche lo spostamento spaziale che la particella subisce attraversando il materiale a causa dello scattering multiplo si distribuisce approsimativamente in modo gaussiano. Si puó trovare che vale :

$$P(r) dr = \frac{6r}{<\theta^2>t^2} \exp{\frac{-3r^2}{<\theta^2>t^2}} dr$$ (32)

dove r é lo spostamento e . É facilmente verificabile che vale:

$$<r^2>=<\theta^2>t^2/3$$