Perdita di energia degli elettroni

Una particella carica che si muove all'interno di un materiale diminuisce la sua energia cinetica a causa delle interazioni con gli elettroni orbitali degli atomi che formano il materiale stesso. Queste possono essere viste come collisioni anelastiche tra la particella e la nuvola elettronica degli atomi, con trasferimento di energia dalla particella agli elettroni. La perdita media di energia è descritta dalla formula di Bethe e Bloch, che applicata al caso di elettroni e positroni diventa [Grupen, 1996]:

$$-\frac{dE}{dx} = k \frac{Z}{A} \frac{1}{\beta^2} \left[ \... ... c^2 \beta \sqrt{\gamma -1}}{\sqrt{2}I}} + F(\beta) \right]$$ (8)

dove , I è la costante di ionizzazione caratteristica del materiale che può essere approssimata da e

$$F(\beta) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}(1-\beta^... ...{(\gamma+1)^3} \right) & per \: e^+ \\ \end{array} \right.$$

La funzione () ha l'andamento mostrato in figura . Per elettroni relativistici il suo valore non si discosta mai di molto dal valore assunto al minimo, che per il tungsteno e il silicio vale rispettivamente 1.16 e 1.66 . Gli elettroni con energia corrispondente a questo minimo vengono chiamati 'minimum-ionizing particles'.
L'energia perduta dall'elettrone incidente viene acquistata dall'atomo che può risultare eccitato o ionizzato. Le ionizzazioni prodotte in questo modo all'interno degli strati di Silicio del tracciatore di AGILE producono una serie di cariche sotto forma di coppie elettrone-buca che vengono raccolte e misurate tramite le micro-strips presenti in questi strati.
Oltre alla perdita di energia per collisioni inelastiche gli elettroni possono perdere energia anche per interazione con il campo Coulombiano dei nuclei atomici. Infatti, se a causa del campo elettrico dei nuclei un elettrone viene decelerato, parte della sua energia cinetica viene persa sotto forma di un fotone. Questo processo è chiamato bremsstrahlung. Da un punto di vista teorico la bremsstrahlung è legata al processo di produzione di coppie da una semplice regola di sostituzione, la () da quindi anche la sezione d'urto della bremsstrahlung se si interpreta come l'energia dell'elettrone prima dell'interazione e l'energia del fotone emesso.
La perdita di energia causata da questo processo vale:

$$-\frac{dE}{dx} = 4 \alpha N_A r_e^2 \frac{Z^2}{A} E \ln{\frac{183}{Z^{1/3}}}$$ (9)

per E (energia dell'elettrone o del positrone) .
Definendo una lunghezza di radiazione:

$$X_0 = \frac{A}{ 4 \alpha N_A Z^2 r_e^2 \ln{\frac{183}{Z^{1/3}}}}$$ (10)

la si semplifica notevolmente:

$$-\frac{dE}{dx} = \frac{E}{X_0}$$ (11)

vale 6.8 per il tungsteno e 22 per il silicio.

Figure: Perdita di energia per ionizzazione (linea punteggiata), per bremsstrahlung (linea tratteggiata) e totale (linea continua) nel tungsteno.

Come si può vedere dalla figura la perdita di energia per bremsstrahlung domina al di sopra di un'energia critica, che vale 8 MeV per il tungsteno e 39 MeV per il silicio. Come sarà mostrato in seguito è necessario tenere conto di questi effetti di perdita di energia nel tracciatore di AGILE per evitare di sottostimare le energie della coppia di elettroni e quindi anche quella del fotone primario.

Figure: Variazione dell'energia di un elettrone inizialmente di 1 GeV attraverso i piani del tracciatore, con inclinazione di 0 gradi (quadrati), 45 gradi (triangoli) e 60 gradi (rombi).