La sezione d'urto

Si può definire una probabilità differenziale di produzione di coppia tale per cui rappresenta la probabilità per un fotone di energia che attraversa uno spessore $dx$ ) di produrre una coppia in cui l'elettrone ha un'energia cinetica compresa tra e . Assumendo che l'espressione teorica per è :

$$\Phi (E_{\gamma},E_+)dE_+ = 4 \alpha N \frac{Z^2}{A}r_e^2\frac{dE_+}{E_{\gamma}} G(E_{\gamma},f)$$ (2)

dove

$$f=\frac{E_+ + m_e c^2}{E_{\gamma}}$$ (3)

è la frazione di energia presa dal positrone e $\alpha$ è la costante di struttura fine, N è il numero di Avogadro, Z è il numero atomico, A è il numero di massa atomico e $r_e$ è il raggio dell'elettrone. La funzione varia lentamente con e $f$. Il processo di creazione di coppie dipende dall'intensità del campo elettrico nel punto in cui avviene. Per questo, la sezione d'urto dipende, oltre che dall'energia del fotone primario, dal numero atomico Z del materiale e dalla distanza dal nucleo. Infatti, maggiore è questa distanza, maggiore sarà lo screening degli elettroni orbitali. L'influenza dello screening è determinata dalla quantità :

$$\xi = 100 \frac{m_e c^2}{E_{\gamma}}\frac{1}{f(1-f)}Z^{-1/3}$$ (4)

. L'effetto di screening è maggiore per uno minore. Se lo screeening è trascurabile, mentre indica un completo screening. Per un dato valore di $f$, diminuisce all'aumentare di . Lo screening può quindi essere considerato completo per ogni processo di produzione di coppie quando l'energia dell'fotone incidente è grande ( ).
Nei casi limite di screening completo o di assenza di screening la funzione che appare nella () vale [Rossi, 1952]:

$$G(E_{\gamma},f) = \left\{ \begin{array}{ll} \left[f^2 + (... ...c^2}-\frac{1}{2}\right] & \xi \gg 1 \\ \end{array} \right.$$ (5)

Essendo G simmetrica tra $f$ e $1-f$, è complessivamente simmetrica per l'elettrone e il positrone. Integrando in si ottiene la sezione d'urto totale, questo può essere fatto analiticamente solo per i due casi limite:

$$\tau = \left\{ \begin{array}{ll} 4 \alpha N \frac{Z^2}{A}... ...\frac{109}{54}})\right] & \xi \gg 1 \\ \end{array} \right.$$ (6)

Per valori intermedi di bisogna valutare l'integrale numericamente. Per , e quindi per elevate, è circa costante.

Figure: Sezione d'urto del Tungsteno relativa ai principali processi di perdita di energia per fotoni gamma. Per alte energie la produzione di coppie domina sugli altri processi.

La produzione di coppie può avvenire anche nel campo di un elettrone atomico. La sezione d'urto che si ottiene da questa reazione è più piccola di un fattore Z. Per tenere conto di questa interazione si puo' quindi sostituire nella formula precedente con Z(Z+1).
In figura è mostrata la sezione d'urto totale relativa al Tungsteno per la produzione di coppie in funzione di e in relazione agli altri principali processi di assorbimento, lo scattering Compton e fotoelettrico. Al di sopra dell'energia di soglia la probabilità di assorbimento di un fotone per produzione di coppie aumenta molto velocemente, fino a diventare il processo dominante per energie maggiori di circa 10 MeV.
E' interessante studiare come l'energia del fotone si divida tra i due elettroni prodotti, questa informazione è contenuta in . In figura è graficata in funzione di $f$ per diverse . Va notato che il valore di $f$ più probabile varia al variare dell'energia del fotone incidente, in particolare per alte energie è favorita una ripartizione asimmetrica dell'energia.

Figure: Probabilità di reazione in funzione della distribuzione di energia tra gli elettroni secondari.