Teoria delle lenti di Laue
Tecnologia per focalizzare i raggi gamma
La tecnologia per focalizzare i raggi gamma di bassa energia è attualmente in fase di sviluppo. La tecnica principale si basa sulla diffrazione di Bragg dei raggi X prodotta da coperture a bistrato. Questa tecnica funziona molto bene fino a 70 keV. Oltre a questa soglia gli specchi a strato doppio, costituiti da due strati di materiale a basso Z, diventano inefficienti per la riflessione dei fotoni.
Oltre i 70 keV viene utilizzata la diffrazione di Bragg nella configurazione di trasmissione, cioè in quella geometria che è chiamata geometria di Laue che è molto più efficiete fino a energie di 800-900 keV.
Prendiamo in considerazione un cristallo perfetto, caratterizzato da una stuttura cristallina ripetitiva ma dove ogni cristallo è leggermente inclinato rispetto al precedente. Questa inclinazione è rappresentabile dalla funzione di Gauss:
dove D è la deflessione media delle celle del cristallo rispetto alla direzione principale e h è la deviazione standard della distribuzione. La full width at half maximum della distribuzione di Gauss definisce la dispersione del mosaico di cristalli: b=2,35h
I raggi X che incidono su un cristallo perfetto sono diffratti secondo la legge di Bragg:
dove qB è l'angolo tra il piano della struttura del cristallo e la direzione dei raggi X incidenti, 2qB di conseguenza è l'angolo di diffrazione provocato dal cristallo, d è la distanza tra i piani cristallini mentre n è l'ordine del picco di diffrazione che si va ad osservare, E è l'energia del fotone mentre hc è il prodotto di due costanti e vale:
Quando un fascio policromatico di raggi X incide su un cristallo vengono diffratte tutte le onde elettromagnetiche appartenenti ad una banda di energia di ampiezza
Lo scopo principale delle lenti di Laue è quello di sviluppare un sistema di focalizzazione a larga banda per raggi X e gamma ad energie maggiori di 60 keV. In particolare un telescopio che permetterebbe di focalizzare i raggi x e gamma a queste energie consentirebbe di osservare in dettaglio le regioni di emissione delle righe spettrali tipiche dei nuclei instabili o dell'annicchilazione elettrone-positrone a 511 keV. La tecnica utilizzata consiste nel costruire un lastra formata da un mosaico di mattonelle sottilissime di materiale puro, la lente di Laue appunto. I raggi X e gamma attraverseranno la lente e verranno difratti; il trucco consite nel dare alla lente una forma tale da fare convergere i raggi diffratti in un unico punto.
Le proprietà delle lenti di Laue
Le lenti attualmente in fase di progettazione hanno una forma di calotta sferica con raggio di curvatura R e lunghezza focale f=R/2. Naturalmente questo non è sufficiente a progettare un buon telescopio X e Gamma, è necessario anche un rivelatore di elevata sensibilità nella banda passante e sopratutto in grado di sfruttare tutta la risoluzione angolare che le ottiche sono in grado di offrire.
I piani della struttura del cristallo sono perpendicolari alla superfice sferica ella lente, tale struttura garantisce che solo i fotoni in una certa banda di energia DE centrata ad una certa energia E vengano diffratti dai cristalli presenti nella lente. Un fotone di energia E incidente sul cristallo con una direzione parallela all'asse ottico del telescopio verrà diffratto con un angolo 2qB e viene focalizzato in un punto focale dove verrà sistemato il rivelatore. A causa del piccolissimo angolo di diffusione le focali di questi telescopi devono essere molto lunghe.
Il metodo più semplice e in grado di sfruttare a pieno tale tecnica consiste nel disporre una sequenza di mattonelle di cristalli di rame in una sfruttura sferica a spirale di Archimede. Con tale sistema il centroide della banda di energia di diffrazione dei fotoni che attraversano i cristalli cambia dolcemente da un cristallo al successivo permettento al telescopio di funzionare in una banda più ampia e coperta totalmente. Una disposizione differente dei tasselli impedirebbe la focalizzazione dei fotoni di determinate energie.
La banda passante nominale di una lente di Laue è compresa tra Emin che individua l'energia minima dei fotoni rifratti ed Emax che individua l'energia massima dei fotoni di cui la lente è in grado di diffrangere verso il fuoco.
Questi valori sono determinati dalla geometria della lente, in particolare dal raggio minimo e massimo della spirale di Archimede. Per il liminite di minima energia della banda di osservazione si ha:
mentre il limite superiore dell'energia nella banda di osservazione è:
Efficienza nella trasmissione e nella riflessione
L'efficienza dei cristalli nel trasmettere i fotoni gamma diffratti è determinata dalla seguente relazione:
dove I0 è l'intensità dei fotoni incidenti, Id(D,E) è l'intensità dei fotoni diffratti, m è il coefficiente di assorbimento all'energia E, tipico del materiale utilizzato per costruire la lente, g0 è il coseno dell'angolo tra la direzone dei fotoni e la normale alla superficie del cristallo, T è lo spessore del mosaico di cristalli mentre s è così definito:
con W(D) la olita funzione di Gauss mentre Q(E) è così calcolato:
con re che indica il raggio classico dell'elettrone, F la costante di struttura fine, V è il volume della cella del cristallo, l la lunghezza d'onda del fotone incidente .
Considerando tutte le variabili in gioco e ciò che la tecnologia mette a nostra disposizione, il cristallo che costituisce il candidato migliore per costruire delle lenti di Laue è il rame allo stato puro, attualmente sviluppato presso i laboratori Laue-Langevin di Grenoble