Impariamo cosa sono i logaritmi

Nei primi anni del 1600 John Napier e Henry Briggs lavorarono ad un metodo per esprimere i numeri positivi come potenze di 10: 3=10^0,47712 5=10^0,69897 15=10^1,17609 Questi esponenti in base 10 sono stati chiamati logaritmi. Briggs pubblicò una tavola logaritmica che riproduceva tutti i logaritmi in base 10: Le regole dei logaritmi derivano dalle regole delle potenze. Vediamole in dettaglio: La moltiplicazione di due potenze della stessa base è una potenza con la stessa base ma con esponente dato dalla somma dei due esponenti i logaritmi sono gli esponenti, quindi il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi La divisione di due potenze della stessa base è una potenza con la stessa base e con esponente la differenza degli esponenti mentre il logaritmo di un rapporto è la differenza di logaritmi Non ci avete capito niente? Proviamo con i numeri. Quanto fa 5x3?
Sappiamo tutti che il risultato è 15, ma ora facciamo una prova, proviamo a calcolarla coi logaritmi, ora log3=0,47712 e log5=0,69897, poi calcoliamo 0,47712+0,69897=1,17609 che dalla tabella riportata è il logaritmo di 15!

Per calcolare 15 è stata fatta la seguente operazione: 10^1,17609 questa operazione è anche chiamata antilogaritmo e si indica con antilog.

Naturalmente funziona anche con la sottrazione infatti log15=1,17609 e log5=0,69897. La differenza è: 1,17609-0,69897=0,47712 che è log3 !


Nello stesso periodo un matematico di nome Edmund Gunter inventò la scala logaritmica che avrà notevoli applicazioni in astronomia. Quale grande proprietà presentava questa scala? La scala comprimeva in lunghezza tutti i numeri consentendo di rappresentare molto facilmente fenomeni che dipendono da grandezze che si estendono su grandi scale. Vediamo di chiarire il concetto: consideriamo la vita di un uomo che muore a 100 anni, se rappresentiamo la sua vita su scala lineare con 5 cm corrispondenti ad un anno ci servirebbe un foglio di 5 metri! Utilizzando una scala logaritmica possiamo dire che: log100=2 ora 5 cm·2=10 cm ...che risparmio!
Vediamo un altro esempio: vediamo di rappresentare la storia della Terra su grafico, l'istante 0 è quello attuale, poi usiamo un'unità di misura di 1 cm per indicare un anno (così possiamo dare una buona rappresentazione di tutti gli eventi che hanno caratterizzato un anno come il 1945 che ha portato alla fine della seconda guerra mondiale) ma Cristo quando è nato? Circa 20 metri fa! E i dinosauri quando si sono estinti? L'estinzione dei Dinosauri nel nostro grafico sta a 650 km, dovremmo fare un foglio lungo quanto la distanza tra Milano e Roma!
Coi logaritmi è tutto più semplice: Cristo è nato circa 2000 anni fa, log2000=3,30103 quindi la nascita di Cristo verrà messa a 3,3 cm. Per l'estinzione dei dinosauti avvenuta 65 milioni di anni fa abbiamo log65000000=7,81291 e verrà messa a circa 7,8 cm!

Lo spettro elettromagnetico varia su diversi ordini di grandezza e tutte le bande di frequenza possono essere rappresentate soltanto con l'uso di una scala logaritmica, ad esempio consideriamo le seguenti frequenze: Onde radio 1000000 Hz log=6 Ottico 100000000000000 Hz log=14 X 1000000000000000000 Hz log=18 gamma 10000000000000000000000000 Hz log=25 Come si vede la radiazione Gamma qui rappresentata ha una frequenza altissima, pari a 1025 Hz, ma il problema si risolve con una scala logaritmica con unità pari ad 1 cm, infatti in tal caso riusciremo a sistemare tutte le frequenze su un regolo lungo a malapena 25 cm!

Tutti i nostri sensi vengono rilevati dal nostro cervello su un scala in intensità di tipo logaritmico. Questa particolarità dei nostri sensi ci permette di fare molte cose. La risposta logaritmica della nostra vista ad un segnale luminoso ci permette di vedere le stelle in una notte buia senza rimanere abbagliati da un paesaggio illuminato dal Sole in pieno giorno. La risposta logaritmica dell'udito ci permette di ascoltare il fruscio delle foglie in una giornata di leggera brezza ma anche di sentire senza danni il rombo di un aereo che decolla.